Dalam teori nombor gabungan, masalah Erdős–Graham ialah masalah untuk membuktikan bahawa, jika set { 2 , 3 , 4 , … } {\displaystyle \{2,3,4,\dots \}} daripada integer yang lebih besar daripada satu dibahagikan kepada subset banyak terhingga, maka salah satu daripada subset boleh digunakan untuk membentuk perwakilan pecahan Mesir bagi perpaduan. Iaitu, untuk setiap r > 0 {\displaystyle r>0} , dan setiap r {\displaystyle r} -pewarnaan integer lebih daripada satu, terdapat subset monokromatik terhingga S {\displaystyle S} daripada integer ini supayaSecara lebih terperinci, Paul Erdős dan Ronald Graham menjangkakan bahawa, untuk saiz yang cukup besar r {\displaystyle r} , ahli terbesar S {\displaystyle S} boleh dibatasi oleh b r {\displaystyle b^{r}} untuk beberapa tetap b {\displaystyle b} bebas daripada r {\displaystyle r} . Telah diketahui bahawa, untuk ini benar, b {\displaystyle b} mestilah sekurang-kurangnya pemalar Euler e {\displaystyle e} .[1]Ernie Croot membuktikan sangkaan itu sebagai sebahagian daripada tesis Ph.D beliau[2] dan kemudian (semasa penyelidik pasca kedoktoran di UC Berkeley) menerbitkan bukti dalam Annals of Mathematics.[3] Nilai yang diberikan oleh Croot b {\displaystyle b} ialah sangat besar: ia merupakan e 167000 {\displaystyle e^{167000}} paling banyak. Keputusan Croot berikut sebagai akibat daripada teorem yang lebih umum yang menyatakan kewujudan perwakilan pecahan Mesir bagi kesatuan untuk set C {\displaystyle C} nombor licin dalam selang bentuk [ X , X 1 + δ ] {\displaystyle [X,X^{1+\delta }]} , di mana C {\displaystyle C} mengandungi nombor yang cukup banyak sehingga jumlah salingannya ialah sekurang-kurangnya enam. Konjektur Erdős–Graham mengikuti daripada keputusan ini dengan menunjukkan bahawa seseorang boleh mencari selang bentuk ini di mana jumlah kebalikan semua nombor licin ialah sekurang-kurangnya 6 r {\displaystyle 6r}  ; oleh itu, jika integer ialah r {\displaystyle r} -berwarna mesti ada subset monokromatik C {\displaystyle C} memenuhi syarat teorem Croot.Bentuk keputusan yang lebih kukuh, bahawa mana-mana set integer dengan ketumpatan atas positif termasuk penyebut bagi perwakilan pecahan Mesir bagi satu, telah diumumkan pada 2021 oleh Thomas Bloom, seorang penyelidik pasca doktoral di Universiti Oxford.[4]